мениска, равен весу мениска. Обозначив через ho длину этой части стержня, запишем указанное условие так:

mg = --fi,pg,

откуда искомая глубина погружения ареометра

Ло = -. (70)

Для условий примера 33 находим

. . , 4-0,12 г-

=--- 0,5 см.

° 3,14-0,52. 1,19

Как видим, под действием мениска ареометр погружается довольно значительно, так что влиянием мениска нельзя пренебречь.

Формулу (70) можно представить и в другом виде, если в нее подставить значение т из уравнения (69). Тогда

Ло = . - (71)

Формула (71) подтверждает, что в двух жидкостях, имеющих одинаковую плотность, но различную капиллярную постоянную, один и тот же ареометр даст разные показания. Если о, и Ог - капиллярные постоянные жидкостей и Oi>G2, то глубина погружения ареометра под действием мениска в первой жидкости будет больше, чем во второй, причем разность глубин согласно формуле (71) составит - (d - d).

Так, например, ареометр со стержнем диаметром 5 мм при одинаковой плотности воды (ai = 7,43 мм) и серно-винного раствора .(С2 = 2,92 мм) погрузится в воду глубже, чем в раствор, на 3,6 мм.

Таким образом, глубина погружения ареометра прямо пропорциональна капиллярной постоянной жидкости и обратно npdnop-циональна диаметру стержня ареометра. Отсюда следует, что в жидкости с большей капиллярной постоянной из-за большего погружения ареометр будет показывать меньшую, чем следует, плотность, так как значения плотности на шкале ареометра растут сверху вниз.

§ 147. Уравнение равновесия ареометра в жидкости

Рассмотрим подробнее силы, действующие на ареометр, плавающий в жидкости, и выведем уравнение равновесия ареометра, устанавливающее зависимость между основными размерами ареометра и плотностью жидкости. Введем следующие обозначения: Q - плотность жидкости; а - капиллярная постоянная жидкости;

и части стержня до нижнего

Vo - объем всего ареометра; V - объем корпуса ареометра штриха шкалы;

/ - расстояние от нижнего штриха шкалы до уровня жидкости;

5 - площадь поперечного сечения стержня;

L - длина окружности сечения стержня;

т - масса ареометра;

D - плотность воздуха;

g - ускорение свободного падения. Для равновесия ареометра в жидкости необходимо, чтобы существовало равенство между силами, погружающими ареометр в жидкость, и силами, выталкивающими его из жидкости.

Допустим, что жидкость имеет ту температуру, для которой градуирован ареометр. Силы, погружающие ареометр в жидкость, складываются из веса ареометра Gg,=mg и веса мениска Gm=LaQg (рис. 312). Выталкивающая сила равна сумме следующих трех сил: веса жидкости в объеме погруженной части ареометра Рд,= (v + lS)Qg; веса воздуха в объеме непогруженной части стержня * Рс = {vo-V-tS)Dg; веса воздуха в объеме мениска [последний определяется делением массы мениска, выражаемой формулой (69), на плотность жидкости] Pu=LaDg.

Рис. 312. Силы,

действующие иа ареометр

Условие равновесия ареометра можно выразить так: (m + Lap)g = [{v + lS)p + {v,-v-IS)D + LaD] g

или

m - v,D + la (p - D) = (г + IS) (p - D).

Принимая BO внимание, что разность m-VoD представляет собой массу ареометра за вычетом массы воздуха в объеме ареометра, т. е. массу ареометра М, определенную взвешиванием в воздухе, получим следующее окончательное уравнение:

M + La{p-D) = {v-]-lS){p-D). (72)

В дальнейшем массу, определенную взвешиванием в воздухе, для краткости будем именовать масса в воздухе

§ 148. Основы конструирования ареометра

При конструировании ареометра необходимо придать ему такую форму и такие размеры, чтобы обеспечивалось его устойчи-

* Закон Архимеда относится и к телам, находящимся в газовой среде.

вое равновесие при плавании в жидкости. Для этого должны быть соблюдены следующие условия:

1) центр тяжести ареометра и точка приложения выталкиваю--щей силы, совпадающая с центром тяжести объема жидкости, вытесненной ареометром, должны лежать на одной вертикальной прямой;

2) центр тяжести ареометра должен находиться ниже точки приложения выталкивающей силы.

Для выполнения первого условия ареометру придают форму, симметричную относительно вертикальной оси. Для соблюдения второго условия нижнюю часть корпуса ареометра заполняют балластом.

Массу балласта определяют, исходя из общей потребной массы ареометра в соответствии с уравнением (72). Если в уравнении (72) отбросить, как сравнительно малый, член Ьа(д-D), а также пренебречь влиянием плотности воздуха, то для случая погружения ареометра до нижнего щтриха щкалы (/=0) получим MVQ, т. е. масса ареометра приближенно равна произведению объема его корпуса до нижнего щтриха щкалы на плотность жидкости, соответствующую этому щтриху. Окончательно массу бал--ласта подгоняют опытным путем.

У ареометра со щкалой, охватывающей большой интервал плотностей, если его корпус выполнить цилиндрическим (см. рис. 305, с), центр тяжести будет расположен близко к центру тяжести вытесненной жидкости, т. е. равновесие ареометра будет неустойчивым. Так как в этом случае невозможно опустить центр тяжести ареометра еще ниже, приходится поднять центр тяжести вытесненной жидкости, для чего корпусу придают веретенообразную форму (см. рис. 305, б).

Для расчета размеров ареометра воспользуемся упрощенным уравнением равновесия ареометра, которое получается из уравнения (72), если отбросить, как малые, член, учитывающий влияние мениска, и величину D в правой части:

УИ = (г) + /5)р. (73

Введем некоторые дополнительные обозначения: d - диаметр стержня ареометра; 1о - длина щкалы ареометра;

Ql - плотность, соответствующая нижнему штриху шкалы; <q2 - ПЛОТНОСТЬ, соответствующая верхнему штриху шкалы. Погружению ареометра до нижнего штриха шкалы (/=0) соответствует уравнение

;а погружению до верхнего штриха (/=/о) -уравнение